Entre todos los campos de conocimiento en los que los estudiantes deben entrar, la geometría es el que exige la actividad cognitiva más completa, ya que apela al gesto, al lenguaje y a la mirada. Allí es necesario construir, razonar y ver, indisociablemente. Pero la geometría también es el campo más difícil de enseñar y uno de aquellos en los que, aun cuando los objetivos sean muy modestos, los resultados que se alcanzan son decepcionantes. Es suficiente consultar las evaluaciones nacionales al comienzo de la secundaria, sin necesidad de recordar las dificultades que conciernen a la demostración,1 para constatar un estado de cosas bien conocido. ¿Qué es lo que en la actividad cognitiva necesaria para hacer geometría, resulta ser demasiado complejo o demasiado inalcanzable para los estudiantes: construir, razonar para justificar, o ver? Detengámonos un instante en las figuras que condensan de alguna manera todas las modalidades de la actividad cognitiva.

Ver una figura en geometría exige disociar lo que corresponde a la magnitud y, por lo tanto, lo que depende de la escala de magnitud con la que se efectúa el acto de ver, de lo que corresponde a las formas distinguidas, que son independientes de la escala de magnitud. La relación con las figuras, es decir, la manera de mirar lo que ellas dejan ver, concierne a la distinción de formas y no a la magnitud o a los cambios de escala de magnitud. El siguiente es el análisis que hacía Poincaré de “la intuición geométrica” (...)